数学中0.9循环等于1吗 - 百科分享

作为数学中的一个重要问题，不少人都曾听过0.9循环等于1这个看似不可思议的说法。到底这是真的还是假的？让我们在本文中一起揭秘数学中这个奥妙，探究0.9循环为何等于1。

先来看看数学中几个基本概念。在十进制下，我们可以用小数来表示带小数部分的数，比如例子中的0.9循环。0.9循环就是无限循环的0.9，表示为0.999...。接下来，我们需要掌握有限数列、无限数列及其求和的相关知识。

我们都很熟悉一些几何数列的求和公式，比如n个1相加的结果是n，n个2相加的结果是2n，这是一个简单无比的数列求和公式。类似的，我们可以给出无穷几何级数的求和公式。一个典型的无穷几何级数是这样的：1 + r + r^2 + r^3 + ...，其中r是一个比1小的正数，叫做公比。当公比小于1时，这个无穷几何级数的求和是一个有限的数。具体求和公式为：

S = 1 / (1 - r)

如果r是0.5，那么1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + ... 的和就是2。但如果把r改为0.9，我们会发现1 + 0.9 + 0.81 + 0.729 + ... 的和却是一个无限循环小数0.999...，这就引出了本文要探究的问题。

首先，我们来看一种比较直观的解法。因为0.9<1，所以0.9循环当然小于1。但是，我们可以通过排除法*1来证明0.9循环等于1。具体来说，我们假设有一个数x等于0.9循环，即x=0.999...。那么我们可以做如下运算：

10x = 9.999...

减去x，得到：

9x = 9

因此，x=1，也就是说0.9循环等于1。

这个结果看起来挺神奇的，但确实是合理的。所以我们可以得出结论，0.9循环等于1。这里的关键在于，无限循环小数其实是某个无穷几何级数的和，而我们已经通过公式求出了它的和为1/(1-0.9)=1。

不难看出，要理解这个问题，需要一定的数学知识储备。但即使数学并不是你的强项，在上述解法的帮助下，也可以很容易地证明0.9循环等于1这个问题。

*1：排除法是一种证明方法，其基本思路是从假设的结果中找出矛盾点，然后推翻假设。